Почему нельзя делить на ноль: простые объяснения для школьников

Школьникам известно, что умножение на 0 обнулит любое число, а деление на 0 — это табу. Почему существует такой запрет? Объяснения есть в арифметике, алгебре и жизненном опыте.

Приводит к бесконечному числу нулевых долек

Нулем на первый взгляд обозначают ничто, но на самом деле он имеет огромное значение в математике. Операции с ним кажутся головоломными, но им есть логическое объяснение.

Журнал рецензий на исследования старшеклассников и студентов Stem Fellowship утверждает, что математики древних цивилизаций не имели понятия о ноле. Числа для них были сущностями, которые складывали, вычитали, умножали и делили. При этом 0, или ничто, не требовался.

В VII веке индийский математик и астроном Брахмагупта, как пишет энциклопедия Britannica, дал определение нуля как результат вычитания из числа того же числа. На сайте онлайн-университета The Open University к заслугам Брахмагупты относят открытие таких правил:

• Число, умноженное на 0, равно 0.
• Деление на 0 дает дробь с 0 в знаменателе.

Брахмагупта экспериментировал на практике с делением на 0. Он делил лимон на бесконечное количество мельчайших частей, как бы стремящихся к нулю, к ничему. В результате получалась просто лужица лимонного сока — «нулевые дольки», бессмыслица.

Опыты с предметами не дают разумного ответа деления на ноль

Младшие школьники на простом примере могут убедиться в бессмысленности деления на ноль. Предложите им разложить 20 шариков в разные коробочки по 5 штук. Они быстро определят, что для этого им потребуется 4 коробочки: 20÷5=4.

А теперь предложите разложить те же 20 шариков не по 5, а по 0 шариков. При этом еще поставьте задание определить, сколько коробочек понадобится. То есть выполнить такое действие: 20÷0=?. Любому ребенку станет очевидным, что и класть ничего не надо, и коробочки не нужны.

Опыт с очевидностью показывает, что деление 20÷0 не имеет разумного ответа. Такой простой пример объясняет детям, почему деление на 0 стало запретным действием в арифметике.

Жизненный опыт показывает бессмысленность деления на ноль

В младшей школе ученики могут решать задачи, как определить пройденное расстояние, если известно, сколько времени и с какой скоростью идешь. В физике такие задания решаются уже с применением формул, в которых расстояние обозначается буквой S, время движения — t, скорость движения — v. При этом расстояние вычисляется по формуле S=t×v. Исходя из этой формулы, если известны два параметра, то можно вычислить третий, неизвестный. Например:

• узнать время движения, если известны расстояние и скорость: t=S÷v;
• или узнать скорость движения, если известны расстояние и время: v=S÷t.

А что получится, если время движения взять равным 0? То есть считать, что никто никуда ни с какой скоростью не шел. Тогда время перейдет в бесконечную величину, которую невозможно подсчитать. Если скорость взять равной 0, то сколько придется добираться до нужного места? Опять бесконечно. Такой простой опыт из жизни подсказывает, что деление на 0 бессмысленно.

Деление на ноль дает бессмысленный бесконечный результат

Выполняя арифметическое действие деления, несложно заметить закономерность: чем больше число, на которое делят (знаменатель), тем меньше получается результат. Попробуйте делить одно и то же число на все больший знаменатель: 24÷2=12, 24÷3=8, 24÷4=6, 24 ÷12=2.

Такая закономерность наоборот тоже работает: чем меньше знаменатель, тем больше получается результат. Проследите за приведенными примерами в обратном порядке. Если число делить на единицу, получим то же число: 24÷1=24. С очень маленькими знаменателями, которые значительно меньше 1, результаты получаются огромными, например: 24÷0,0000001=240 000 000. Чем больше нулей после запятой в знаменателе, тем больше получаем результат. То есть, при приближении знаменателя к 0 результат становится все более бесконечным.

Из этого примера закономерно сделать вывод, что деление на 0 не имеет смысла из-за того, что в предметном мире нет материального выражения бесконечности или нам нечего в своем окружении считать такими числами. Но в высшей математике, которая оперирует более сложными понятиями, такие действия возможны.

В арифметике умножение и деление на 0 нелогично

В арифметике умножение на 0 обнуляет результат, дает 0. То есть, 4×0=0 и 9×0=0. Тогда пришлось бы сделать вывод, что 4=9, раз при умножении на одинаковое число получается одинаковый результат. Это значит согласиться с тем, что любое число равно любому числу, что противоречит здравому смыслу.

Простое арифметическое действие деления — это обратное действие умножения. Если делим 6 на 2, то это значит, что мы находим число, которое при умножении на 2 даст 6: 6÷2=3 и 3×2=6.

А если попытаться 6 делить на 0? По арифметической логике мы должны найти неизвестное число х, которое при умножении на 0 даст число 6. Другими словами, мы задаем вопрос, сколько нулей надо взять, чтобы получить 6. Но даже бесконечное число нулей даст в результате умножения ноль, но никак не 6 и никакое другое число. Вывод из этого очевиден: деление на ноль дает все что угодно, то есть неопределенность, а такие действия в арифметике нелогичны.

В алгебре деление на 0 абстрактно

Действие деления в алгебре близко по смыслу тому, что в арифметике. Оно равно вопросу, сколько каких-то единиц помещается в определенном числе, например, сколько 2 в 10? Ответ находим действием деления: 10÷2=5. В ответе получаем очевидное: в числе 10 содержится 5 раз по 2.

Если по этой логике задаться вопросом, сколько нулей в каком-то числе? То есть попытаться решить наш приведенный выше пример 10÷0. Ответ: сколько угодно, бесконечность. Такая операция в алгебре не определена, нелогична и абстрактна. Приходим к тому же выводу: деление на 0 и в алгебре невозможно, это действие запрещено. Но в высшей математике, которую изучают в университетах, такие возможности открываются для особо любознательных и пытливых умов.

Деление на ноль будоражило умы самих изобретателей ноля. Школьникам остается только следовать запрету выполнять деление на ноль, убедившись в нелогичности такого действия на простых примерах.